FEATool Multiphysics
v1.17.2
Finite Element Analysis Toolbox
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SF_TRI_P4 Fourth order Lagrange shape functions for triangles (P4).
[ VBASE, NLDOF, XLDOF, SFUN ] = SF_TRI_P4( I_EVAL, N_SDIM, N_VERT, I_DOF, XI, AINVJAC, VBASE ) Evaluates conforming fourth order P4 Lagrange shape functions on 2D triangular elements with values defined in the nodes, edges, and center. XI are Barycentric coordinates.
Input Value/[Size] Description ----------------------------------------------------------------------------------- i_eval scalar: 1 Evaluate function values >1 Evaluate values of derivatives n_sdim scalar: 2 Number of space dimensions n_vert scalar: 3 Number of vertices per cell i_dof scalar: 1-15 Local basis function to evaluate xi array [3,1] Local coordinates of evaluation point aInvJac [n,6] Inverse of transformation Jacobian vBase [n] Preallocated output vector . Output Value/[Size] Description ----------------------------------------------------------------------------------- vBase [n] Evaluated function values nLDof [4] Number of local degrees of freedom on vertices, edges, faces, and cell interiors xLDof [3,n_ldof] Local coordinates of local dofs sfun string Function name of called shape function
nLDof = [3 9 0 3]; xLDof = [1 0 0 3/4 0 1/4 1/2 0 1/2 1/4 0 3/4 1/2 1/4 1/4; 0 1 0 1/4 3/4 0 1/2 1/2 0 3/4 1/4 0 1/4 1/2 1/4; 0 0 1 0 1/4 3/4 0 1/2 1/2 0 3/4 1/4 1/4 1/4 1/2]; sfun = 'sf_tri_P4'; switch i_eval case 1 switch i_dof case 1 vBase = (xi(1)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 3))/3; case 2 vBase = (xi(2)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 3))/3; case 3 vBase = (xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 3))/3; case 4 vBase = (16*xi(1)*xi(2)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1))/3; case 5 vBase = (16*xi(2)*xi(3)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1))/3; case 6 vBase = (16*xi(1)*xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1))/3; case 7 vBase = 4*xi(1)*xi(2)*(4*xi(1) - 1)*(4*xi(2) - 1); case 8 vBase = 4*xi(2)*xi(3)*(4*xi(2) - 1)*(4*xi(3) - 1); case 9 vBase = 4*xi(1)*xi(3)*(4*xi(1) - 1)*(4*xi(3) - 1); case 10 vBase = (16*xi(1)*xi(2)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1))/3; case 11 vBase = (16*xi(2)*xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1))/3; case 12 vBase = (16*xi(1)*xi(3)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1))/3; case 13 vBase = 32*xi(1)*xi(2)*xi(3)*(4*xi(1) - 1); case 14 vBase = 32*xi(1)*xi(2)*xi(3)*(4*xi(2) - 1); case 15 vBase = 32*xi(1)*xi(2)*xi(3)*(4*xi(3) - 1); end case {2,3} switch i_dof case 1 dNdxi1 = ((8*xi(1) - 3)*(16*xi(1)^2 - 12*xi(1) + 1))/3; dNdxi2 = 0; dNdxi3 = 0; case 2 dNdxi1 = 0; dNdxi2 = ((8*xi(2) - 3)*(16*xi(2)^2 - 12*xi(2) + 1))/3; dNdxi3 = 0; case 3 dNdxi1 = 0; dNdxi2 = 0; dNdxi3 = ((8*xi(3) - 3)*(16*xi(3)^2 - 12*xi(3) + 1))/3; case 4 dNdxi1 = (16*xi(2)*(24*xi(1)^2 - 12*xi(1) + 1))/3; dNdxi2 = (16*xi(1)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1))/3; dNdxi3 = 0; case 5 dNdxi1 = 0; dNdxi2 = (16*xi(3)*(24*xi(2)^2 - 12*xi(2) + 1))/3; dNdxi3 = (16*xi(2)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1))/3; case 6 dNdxi1 = (16*xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1))/3; dNdxi2 = 0; dNdxi3 = (16*xi(1)*(24*xi(3)^2 - 12*xi(3) + 1))/3; case 7 dNdxi1 = 4*xi(2)*(8*xi(1) - 1)*(4*xi(2) - 1); dNdxi2 = 4*xi(1)*(4*xi(1) - 1)*(8*xi(2) - 1); dNdxi3 = 0; case 8 dNdxi1 = 0; dNdxi2 = 4*xi(3)*(8*xi(2) - 1)*(4*xi(3) - 1); dNdxi3 = 4*xi(2)*(4*xi(2) - 1)*(8*xi(3) - 1); case 9 dNdxi1 = 4*xi(3)*(8*xi(1) - 1)*(4*xi(3) - 1); dNdxi2 = 0; dNdxi3 = 4*xi(1)*(4*xi(1) - 1)*(8*xi(3) - 1); case 10 dNdxi1 = (16*xi(2)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1))/3; dNdxi2 = (16*xi(1)*(24*xi(2)^2 - 12*xi(2) + 1))/3; dNdxi3 = 0; case 11 dNdxi1 = 0; dNdxi2 = (16*xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1))/3; dNdxi3 = (16*xi(2)*(24*xi(3)^2 - 12*xi(3) + 1))/3; case 12 dNdxi1 = (16*xi(3)*(24*xi(1)^2 - 12*xi(1) + 1))/3; dNdxi2 = 0; dNdxi3 = (16*xi(1)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1))/3; case 13 dNdxi1 = 32*xi(2)*xi(3)*(8*xi(1) - 1); dNdxi2 = 32*xi(1)*xi(3)*(4*xi(1) - 1); dNdxi3 = 32*xi(1)*xi(2)*(4*xi(1) - 1); case 14 dNdxi1 = 32*xi(2)*xi(3)*(4*xi(2) - 1); dNdxi2 = 32*xi(1)*xi(3)*(8*xi(2) - 1); dNdxi3 = 32*xi(1)*xi(2)*(4*xi(2) - 1); case 15 dNdxi1 = 32*xi(2)*xi(3)*(4*xi(3) - 1); dNdxi2 = 32*xi(1)*xi(3)*(4*xi(3) - 1); dNdxi3 = 32*xi(1)*xi(2)*(8*xi(3) - 1); end if( i_eval==2 ) vBase = aInvJac(:,1).*dNdxi1 + aInvJac(:,2).*dNdxi2 + aInvJac(:,3).*dNdxi3; else vBase = aInvJac(:,4).*dNdxi1 + aInvJac(:,5).*dNdxi2 + aInvJac(:,6).*dNdxi3; end case {22,23,32,33} % Evaluation of second derivatives. switch i_dof case 1 d2Ndxi1dxi1 = 128*xi(1)^2 - 96*xi(1) + 44/3; d2Ndxi2dxi1 = 0; d2Ndxi3dxi1 = 0; d2Ndxi1dxi2 = 0; d2Ndxi2dxi2 = 0; d2Ndxi3dxi2 = 0; d2Ndxi1dxi3 = 0; d2Ndxi2dxi3 = 0; d2Ndxi3dxi3 = 0; case 2 d2Ndxi1dxi1 = 0; d2Ndxi2dxi1 = 0; d2Ndxi3dxi1 = 0; d2Ndxi1dxi2 = 0; d2Ndxi2dxi2 = 128*xi(2)^2 - 96*xi(2) + 44/3; d2Ndxi3dxi2 = 0; d2Ndxi1dxi3 = 0; d2Ndxi2dxi3 = 0; d2Ndxi3dxi3 = 0; case 3 d2Ndxi1dxi1 = 0; d2Ndxi2dxi1 = 0; d2Ndxi3dxi1 = 0; d2Ndxi1dxi2 = 0; d2Ndxi2dxi2 = 0; d2Ndxi3dxi2 = 0; d2Ndxi1dxi3 = 0; d2Ndxi2dxi3 = 0; d2Ndxi3dxi3 = 128*xi(3)^2 - 96*xi(3) + 44/3; case 4 d2Ndxi1dxi1 = 64*xi(2)*(4*xi(1) - 1); d2Ndxi2dxi1 = 128*xi(1)^2 - 64*xi(1) + 16/3; d2Ndxi3dxi1 = 0; d2Ndxi1dxi2 = 128*xi(1)^2 - 64*xi(1) + 16/3; d2Ndxi2dxi2 = 0; d2Ndxi3dxi2 = 0; d2Ndxi1dxi3 = 0; d2Ndxi2dxi3 = 0; d2Ndxi3dxi3 = 0; case 5 d2Ndxi1dxi1 = 0; d2Ndxi2dxi1 = 0; d2Ndxi3dxi1 = 0; d2Ndxi1dxi2 = 0; d2Ndxi2dxi2 = 64*xi(3)*(4*xi(2) - 1); d2Ndxi3dxi2 = 128*xi(2)^2 - 64*xi(2) + 16/3; d2Ndxi1dxi3 = 0; d2Ndxi2dxi3 = 128*xi(2)^2 - 64*xi(2) + 16/3; d2Ndxi3dxi3 = 0; case 6 d2Ndxi1dxi1 = 0; d2Ndxi2dxi1 = 0; d2Ndxi3dxi1 = 128*xi(3)^2 - 64*xi(3) + 16/3; d2Ndxi1dxi2 = 0; d2Ndxi2dxi2 = 0; d2Ndxi3dxi2 = 0; d2Ndxi1dxi3 = 128*xi(3)^2 - 64*xi(3) + 16/3; d2Ndxi2dxi3 = 0; d2Ndxi3dxi3 = 64*xi(1)*(4*xi(3) - 1); case 7 d2Ndxi1dxi1 = 32*xi(2)*(4*xi(2) - 1); d2Ndxi2dxi1 = 4*(8*xi(1) - 1)*(8*xi(2) - 1); d2Ndxi3dxi1 = 0; d2Ndxi1dxi2 = 4*(8*xi(1) - 1)*(8*xi(2) - 1); d2Ndxi2dxi2 = 32*xi(1)*(4*xi(1) - 1); d2Ndxi3dxi2 = 0; d2Ndxi1dxi3 = 0; d2Ndxi2dxi3 = 0; d2Ndxi3dxi3 = 0; case 8 d2Ndxi1dxi1 = 0; d2Ndxi2dxi1 = 0; d2Ndxi3dxi1 = 0; d2Ndxi1dxi2 = 0; d2Ndxi2dxi2 = 32*xi(3)*(4*xi(3) - 1); d2Ndxi3dxi2 = 4*(8*xi(2) - 1)*(8*xi(3) - 1); d2Ndxi1dxi3 = 0; d2Ndxi2dxi3 = 4*(8*xi(2) - 1)*(8*xi(3) - 1); d2Ndxi3dxi3 = 32*xi(2)*(4*xi(2) - 1); case 9 d2Ndxi1dxi1 = 32*xi(3)*(4*xi(3) - 1); d2Ndxi2dxi1 = 0; d2Ndxi3dxi1 = 4*(8*xi(1) - 1)*(8*xi(3) - 1); d2Ndxi1dxi2 = 0; d2Ndxi2dxi2 = 0; d2Ndxi3dxi2 = 0; d2Ndxi1dxi3 = 4*(8*xi(1) - 1)*(8*xi(3) - 1); d2Ndxi2dxi3 = 0; d2Ndxi3dxi3 = 32*xi(1)*(4*xi(1) - 1); case 10 d2Ndxi1dxi1 = 0; d2Ndxi2dxi1 = 128*xi(2)^2 - 64*xi(2) + 16/3; d2Ndxi3dxi1 = 0; d2Ndxi1dxi2 = 128*xi(2)^2 - 64*xi(2) + 16/3; d2Ndxi2dxi2 = 64*xi(1)*(4*xi(2) - 1); d2Ndxi3dxi2 = 0; d2Ndxi1dxi3 = 0; d2Ndxi2dxi3 = 0; d2Ndxi3dxi3 = 0; case 11 d2Ndxi1dxi1 = 0; d2Ndxi2dxi1 = 0; d2Ndxi3dxi1 = 0; d2Ndxi1dxi2 = 0; d2Ndxi2dxi2 = 0; d2Ndxi3dxi2 = 128*xi(3)^2 - 64*xi(3) + 16/3; d2Ndxi1dxi3 = 0; d2Ndxi2dxi3 = 128*xi(3)^2 - 64*xi(3) + 16/3; d2Ndxi3dxi3 = 64*xi(2)*(4*xi(3) - 1); case 12 d2Ndxi1dxi1 = 64*xi(3)*(4*xi(1) - 1); d2Ndxi2dxi1 = 0; d2Ndxi3dxi1 = 128*xi(1)^2 - 64*xi(1) + 16/3; d2Ndxi1dxi2 = 0; d2Ndxi2dxi2 = 0; d2Ndxi3dxi2 = 0; d2Ndxi1dxi3 = 128*xi(1)^2 - 64*xi(1) + 16/3; d2Ndxi2dxi3 = 0; d2Ndxi3dxi3 = 0; case 13 d2Ndxi1dxi1 = 256*xi(2)*xi(3); d2Ndxi2dxi1 = 32*xi(3)*(8*xi(1) - 1); d2Ndxi3dxi1 = 32*xi(2)*(8*xi(1) - 1); d2Ndxi1dxi2 = 32*xi(3)*(8*xi(1) - 1); d2Ndxi2dxi2 = 0; d2Ndxi3dxi2 = 32*xi(1)*(4*xi(1) - 1); d2Ndxi1dxi3 = 32*xi(2)*(8*xi(1) - 1); d2Ndxi2dxi3 = 32*xi(1)*(4*xi(1) - 1); d2Ndxi3dxi3 = 0; case 14 d2Ndxi1dxi1 = 0; d2Ndxi2dxi1 = 32*xi(3)*(8*xi(2) - 1); d2Ndxi3dxi1 = 32*xi(2)*(4*xi(2) - 1); d2Ndxi1dxi2 = 32*xi(3)*(8*xi(2) - 1); d2Ndxi2dxi2 = 256*xi(1)*xi(3); d2Ndxi3dxi2 = 32*xi(1)*(8*xi(2) - 1); d2Ndxi1dxi3 = 32*xi(2)*(4*xi(2) - 1); d2Ndxi2dxi3 = 32*xi(1)*(8*xi(2) - 1); d2Ndxi3dxi3 = 0; case 15 d2Ndxi1dxi1 = 0; d2Ndxi2dxi1 = 32*xi(3)*(4*xi(3) - 1); d2Ndxi3dxi1 = 32*xi(2)*(8*xi(3) - 1); d2Ndxi1dxi2 = 32*xi(3)*(4*xi(3) - 1); d2Ndxi2dxi2 = 0; d2Ndxi3dxi2 = 32*xi(1)*(8*xi(3) - 1); d2Ndxi1dxi3 = 32*xi(2)*(8*xi(3) - 1); d2Ndxi2dxi3 = 32*xi(1)*(8*xi(3) - 1); d2Ndxi3dxi3 = 256*xi(1)*xi(2); end if( i_eval==22 ) vBase = aInvJac(:,1).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi1 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi1 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi1 ) + ... aInvJac(:,2).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi2 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi2 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi2 ) + ... aInvJac(:,3).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi3 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi3 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi3 ); elseif( i_eval==33 ) vBase = aInvJac(:,4).*( aInvJac(:,4).*d2Ndxi1dxi1 + aInvJac(:,5).*d2Ndxi2dxi1 + aInvJac(:,6).*d2Ndxi3dxi1 ) + ... aInvJac(:,5).*( aInvJac(:,4).*d2Ndxi1dxi2 + aInvJac(:,5).*d2Ndxi2dxi2 + aInvJac(:,6).*d2Ndxi3dxi2 ) + ... aInvJac(:,6).*( aInvJac(:,4).*d2Ndxi1dxi3 + aInvJac(:,5).*d2Ndxi2dxi3 + aInvJac(:,6).*d2Ndxi3dxi3 ); else vBase = aInvJac(:,4).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi1 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi1 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi1 ) + ... aInvJac(:,5).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi2 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi2 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi2 ) + ... aInvJac(:,6).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi3 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi3 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi3 ); end otherwise vBase = 0; end