FEATool  v1.9Finite Element Analysis Toolbox
sf_tri_P4.m File Reference

## Description

SF_TRI_P4 Fourth order Lagrange shape functions for triangles (P4).

[ VBASE, NLDOF, XLDOF, SFUN ] = SF_TRI_P4( I_EVAL, N_SDIM, N_VERT, I_DOF, XI, AINVJAC, VBASE ) Evaluates conforming fourth order P4 Lagrange shape functions on 2D triangular elements with values defined in the nodes, edges, and center. XI are Barycentric coordinates.

```Input       Value/[Size]           Description
-----------------------------------------------------------------------------------
i_eval      scalar:  1             Evaluate function values
>1             Evaluate values of derivatives
n_sdim      scalar: 2              Number of space dimensions
n_vert      scalar: 3              Number of vertices per cell
i_dof       scalar: 1-15           Local basis function to evaluate
xi          array [3,1]            Local coordinates of evaluation point
aInvJac     [n,6]                  Inverse of transformation Jacobian
vBase       [n]                    Preallocated output vector
.
Output      Value/[Size]           Description
-----------------------------------------------------------------------------------
vBase       [n]                    Evaluated function values
nLDof       [4]                    Number of local degrees of freedom on
vertices, edges, faces, and cell interiors
xLDof       [3,n_ldof]             Local coordinates of local dofs
sfun        string                 Function name of called shape function
```
sf_tri_P1

# Code listing

``` nLDof = [3 9 0 3];
xLDof = [1 0 0 3/4   0 1/4 1/2   0 1/2 1/4   0 3/4 1/2 1/4 1/4;
0 1 0 1/4 3/4   0 1/2 1/2   0 3/4 1/4   0 1/4 1/2 1/4;
0 0 1   0 1/4 3/4   0 1/2 1/2   0 3/4 1/4 1/4 1/4 1/2];
sfun  = 'sf_tri_P4';

switch i_eval

case 1

switch i_dof
case 1
vBase = (xi(1)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 3))/3;
case 2
vBase = (xi(2)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 3))/3;
case 3
vBase = (xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 3))/3;
case 4
vBase = (16*xi(1)*xi(2)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1))/3;
case 5
vBase = (16*xi(2)*xi(3)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1))/3;
case 6
vBase = (16*xi(1)*xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1))/3;
case 7
vBase = 4*xi(1)*xi(2)*(4*xi(1) - 1)*(4*xi(2) - 1);
case 8
vBase = 4*xi(2)*xi(3)*(4*xi(2) - 1)*(4*xi(3) - 1);
case 9
vBase = 4*xi(1)*xi(3)*(4*xi(1) - 1)*(4*xi(3) - 1);
case 10
vBase = (16*xi(1)*xi(2)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1))/3;
case 11
vBase = (16*xi(2)*xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1))/3;
case 12
vBase = (16*xi(1)*xi(3)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1))/3;
case 13
vBase = 32*xi(1)*xi(2)*xi(3)*(4*xi(1) - 1);
case 14
vBase = 32*xi(1)*xi(2)*xi(3)*(4*xi(2) - 1);
case 15
vBase = 32*xi(1)*xi(2)*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
end

case {2,3}

switch i_dof

case 1
dNdxi1 = ((8*xi(1) - 3)*(16*xi(1)^2 - 12*xi(1) + 1))/3;
dNdxi2 = 0;
dNdxi3 = 0;
case 2
dNdxi1 = 0;
dNdxi2 = ((8*xi(2) - 3)*(16*xi(2)^2 - 12*xi(2) + 1))/3;
dNdxi3 = 0;
case 3
dNdxi1 = 0;
dNdxi2 = 0;
dNdxi3 = ((8*xi(3) - 3)*(16*xi(3)^2 - 12*xi(3) + 1))/3;
case 4
dNdxi1 = (16*xi(2)*(24*xi(1)^2 - 12*xi(1) + 1))/3;
dNdxi2 = (16*xi(1)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1))/3;
dNdxi3 = 0;
case 5
dNdxi1 = 0;
dNdxi2 = (16*xi(3)*(24*xi(2)^2 - 12*xi(2) + 1))/3;
dNdxi3 = (16*xi(2)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1))/3;
case 6
dNdxi1 = (16*xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1))/3;
dNdxi2 = 0;
dNdxi3 = (16*xi(1)*(24*xi(3)^2 - 12*xi(3) + 1))/3;
case 7
dNdxi1 = 4*xi(2)*(8*xi(1) - 1)*(4*xi(2) - 1);
dNdxi2 = 4*xi(1)*(4*xi(1) - 1)*(8*xi(2) - 1);
dNdxi3 = 0;
case 8
dNdxi1 = 0;
dNdxi2 = 4*xi(3)*(8*xi(2) - 1)*(4*xi(3) - 1);
dNdxi3 = 4*xi(2)*(4*xi(2) - 1)*(8*xi(3) - 1);
case 9
dNdxi1 = 4*xi(3)*(8*xi(1) - 1)*(4*xi(3) - 1);
dNdxi2 = 0;
dNdxi3 = 4*xi(1)*(4*xi(1) - 1)*(8*xi(3) - 1);
case 10
dNdxi1 = (16*xi(2)*(2*xi(2) - 1)*(4*xi(2) - 1))/3;
dNdxi2 = (16*xi(1)*(24*xi(2)^2 - 12*xi(2) + 1))/3;
dNdxi3 = 0;
case 11
dNdxi1 = 0;
dNdxi2 = (16*xi(3)*(2*xi(3) - 1)*(4*xi(3) - 1))/3;
dNdxi3 = (16*xi(2)*(24*xi(3)^2 - 12*xi(3) + 1))/3;
case 12
dNdxi1 = (16*xi(3)*(24*xi(1)^2 - 12*xi(1) + 1))/3;
dNdxi2 = 0;
dNdxi3 = (16*xi(1)*(2*xi(1) - 1)*(4*xi(1) - 1))/3;
case 13
dNdxi1 = 32*xi(2)*xi(3)*(8*xi(1) - 1);
dNdxi2 = 32*xi(1)*xi(3)*(4*xi(1) - 1);
dNdxi3 = 32*xi(1)*xi(2)*(4*xi(1) - 1);
case 14
dNdxi1 = 32*xi(2)*xi(3)*(4*xi(2) - 1);
dNdxi2 = 32*xi(1)*xi(3)*(8*xi(2) - 1);
dNdxi3 = 32*xi(1)*xi(2)*(4*xi(2) - 1);
case 15
dNdxi1 = 32*xi(2)*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
dNdxi2 = 32*xi(1)*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
dNdxi3 = 32*xi(1)*xi(2)*(8*xi(3) - 1);
end

if( i_eval==2 )

vBase = aInvJac(:,1).*dNdxi1 + aInvJac(:,2).*dNdxi2 + aInvJac(:,3).*dNdxi3;

else

vBase = aInvJac(:,4).*dNdxi1 + aInvJac(:,5).*dNdxi2 + aInvJac(:,6).*dNdxi3;

end

case {22,23,32,33}   % Evaluation of second derivatives.

switch i_dof

case 1
d2Ndxi1dxi1 = 128*xi(1)^2 - 96*xi(1) + 44/3;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 0;

case 2
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 128*xi(2)^2 - 96*xi(2) + 44/3;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 0;

case 3
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 128*xi(3)^2 - 96*xi(3) + 44/3;

case 4
d2Ndxi1dxi1 = 64*xi(2)*(4*xi(1) - 1);
d2Ndxi2dxi1 = 128*xi(1)^2 - 64*xi(1) + 16/3;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 128*xi(1)^2 - 64*xi(1) + 16/3;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 0;

case 5
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 64*xi(3)*(4*xi(2) - 1);
d2Ndxi3dxi2 = 128*xi(2)^2 - 64*xi(2) + 16/3;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 128*xi(2)^2 - 64*xi(2) + 16/3;
d2Ndxi3dxi3 = 0;

case 6
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 128*xi(3)^2 - 64*xi(3) + 16/3;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 128*xi(3)^2 - 64*xi(3) + 16/3;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 64*xi(1)*(4*xi(3) - 1);

case 7
d2Ndxi1dxi1 = 32*xi(2)*(4*xi(2) - 1);
d2Ndxi2dxi1 = 4*(8*xi(1) - 1)*(8*xi(2) - 1);
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 4*(8*xi(1) - 1)*(8*xi(2) - 1);
d2Ndxi2dxi2 = 32*xi(1)*(4*xi(1) - 1);
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 0;

case 8
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 32*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
d2Ndxi3dxi2 = 4*(8*xi(2) - 1)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 4*(8*xi(2) - 1)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi3dxi3 = 32*xi(2)*(4*xi(2) - 1);

case 9
d2Ndxi1dxi1 = 32*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 4*(8*xi(1) - 1)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 4*(8*xi(1) - 1)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 32*xi(1)*(4*xi(1) - 1);

case 10
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 128*xi(2)^2 - 64*xi(2) + 16/3;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 128*xi(2)^2 - 64*xi(2) + 16/3;
d2Ndxi2dxi2 = 64*xi(1)*(4*xi(2) - 1);
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 0;

case 11
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 0;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 128*xi(3)^2 - 64*xi(3) + 16/3;
d2Ndxi1dxi3 = 0;
d2Ndxi2dxi3 = 128*xi(3)^2 - 64*xi(3) + 16/3;
d2Ndxi3dxi3 = 64*xi(2)*(4*xi(3) - 1);

case 12
d2Ndxi1dxi1 = 64*xi(3)*(4*xi(1) - 1);
d2Ndxi2dxi1 = 0;
d2Ndxi3dxi1 = 128*xi(1)^2 - 64*xi(1) + 16/3;
d2Ndxi1dxi2 = 0;
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 0;
d2Ndxi1dxi3 = 128*xi(1)^2 - 64*xi(1) + 16/3;
d2Ndxi2dxi3 = 0;
d2Ndxi3dxi3 = 0;

case 13
d2Ndxi1dxi1 = 256*xi(2)*xi(3);
d2Ndxi2dxi1 = 32*xi(3)*(8*xi(1) - 1);
d2Ndxi3dxi1 = 32*xi(2)*(8*xi(1) - 1);
d2Ndxi1dxi2 = 32*xi(3)*(8*xi(1) - 1);
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 32*xi(1)*(4*xi(1) - 1);
d2Ndxi1dxi3 = 32*xi(2)*(8*xi(1) - 1);
d2Ndxi2dxi3 = 32*xi(1)*(4*xi(1) - 1);
d2Ndxi3dxi3 = 0;

case 14
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 32*xi(3)*(8*xi(2) - 1);
d2Ndxi3dxi1 = 32*xi(2)*(4*xi(2) - 1);
d2Ndxi1dxi2 = 32*xi(3)*(8*xi(2) - 1);
d2Ndxi2dxi2 = 256*xi(1)*xi(3);
d2Ndxi3dxi2 = 32*xi(1)*(8*xi(2) - 1);
d2Ndxi1dxi3 = 32*xi(2)*(4*xi(2) - 1);
d2Ndxi2dxi3 = 32*xi(1)*(8*xi(2) - 1);
d2Ndxi3dxi3 = 0;

case 15
d2Ndxi1dxi1 = 0;
d2Ndxi2dxi1 = 32*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
d2Ndxi3dxi1 = 32*xi(2)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi1dxi2 = 32*xi(3)*(4*xi(3) - 1);
d2Ndxi2dxi2 = 0;
d2Ndxi3dxi2 = 32*xi(1)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi1dxi3 = 32*xi(2)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi2dxi3 = 32*xi(1)*(8*xi(3) - 1);
d2Ndxi3dxi3 = 256*xi(1)*xi(2);
end

if( i_eval==22 )
vBase = aInvJac(:,1).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi1 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi1 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi1 ) + ...
aInvJac(:,2).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi2 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi2 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi2 ) + ...
aInvJac(:,3).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi3 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi3 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi3 );
elseif( i_eval==33 )
vBase = aInvJac(:,4).*( aInvJac(:,4).*d2Ndxi1dxi1 + aInvJac(:,5).*d2Ndxi2dxi1 + aInvJac(:,6).*d2Ndxi3dxi1 ) + ...
aInvJac(:,5).*( aInvJac(:,4).*d2Ndxi1dxi2 + aInvJac(:,5).*d2Ndxi2dxi2 + aInvJac(:,6).*d2Ndxi3dxi2 ) + ...
aInvJac(:,6).*( aInvJac(:,4).*d2Ndxi1dxi3 + aInvJac(:,5).*d2Ndxi2dxi3 + aInvJac(:,6).*d2Ndxi3dxi3 );
else
vBase = aInvJac(:,4).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi1 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi1 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi1 ) + ...
aInvJac(:,5).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi2 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi2 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi2 ) + ...
aInvJac(:,6).*( aInvJac(:,1).*d2Ndxi1dxi3 + aInvJac(:,2).*d2Ndxi2dxi3 + aInvJac(:,3).*d2Ndxi3dxi3 );
end

otherwise
vBase = 0;

end```